题目内容
（选做题）已知函数f（x）=|x+1|，
（1）解不等式f（x）≥2x+1；
（2）?x∈R，使不等式f（x-2）-f（x+6）＜m成立，求m的取值范围．
（1）解不等式f（x）≥2x+1；
（2）?x∈R，使不等式f（x-2）-f（x+6）＜m成立，求m的取值范围．
分析：（1）通过分类讨论即可解出；
（2）把问题等价转化为（|x-1|-|x+7|）min＜m，再求出其最小值即可．
（2）把问题等价转化为（|x-1|-|x+7|）min＜m，再求出其最小值即可．
解答：解：（1）当x+1≥0即x≥-1时，x+1≥2x+1，∴-1≤x≤0，
当x+1＜0即x＜-1时，-x-1≥2x+1，∴x＜-1，
∴不等式的解集为{x|x≤0}．
（2）∵f（x-2）=|x-1|，f（x+6）=|x+7|，∴|x-1|-|x+7|＜m，
∵?x∈R，使不等式|x-1|-|x+7|＜m成立，∴m大于|x-1|-|x+7|的最小值．
令g（x）=|x-1|-|x-7|，
则g（x）=
，
∴g（x）的最小值为-8．
∴m＞-8．
当x+1＜0即x＜-1时，-x-1≥2x+1，∴x＜-1，
∴不等式的解集为{x|x≤0}．
（2）∵f（x-2）=|x-1|，f（x+6）=|x+7|，∴|x-1|-|x+7|＜m，
∵?x∈R，使不等式|x-1|-|x+7|＜m成立，∴m大于|x-1|-|x+7|的最小值．
令g（x）=|x-1|-|x-7|，
则g（x）=
|
∴g（x）的最小值为-8．
∴m＞-8．
点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、等价转化及分段函数的最值的求法是解题的关键．
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