题目内容
规定=
,其中
是正整数,且
=1,这是组合数
(
是正整数,且
)的一种推广.
(1)求的值;
(2)设,当
为何值时,
取得最小值?
(3)组合数的两个性质:①=
; ②
+
=
是否都能推广到 (
是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由.
(1).
(2)当时,
取得最小值.
(3)性质①不能推广.例如当时,
有意义,但
无意义;
性质②能推广,其推广形式是:,
是正整数,
解析试题分析:(1). 4分
(2)
∵当且仅当
时,取等号
∴当时,
取得最小值. 8分
(3)性质①不能推广.例如当时,
有意义,但
无意义;
性质②能推广,其推广形式是:,
是正整数,12分
事实上,当时,有
,
当时,
=
=. 15分
考点:本题主要考查组合数的性质及其应用,归纳推理,均值定理的应用。
点评:中档题,本题由3道小题组成,前两小题解题思路明确,利用组合数公式及其性质变形、计算,其中(2)在得到函数表达式的基础上,灵活运用均值定理求最值,具有一般性。(3)利用归纳推理,作出判断,利用组合数公式及其性质进行了证明,对复杂式子变形能力要求高。

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