题目内容

函数f(x)=cos(-
x
2
)+cos(
1
2
π-
x
2
),x∈R

(1)求f(x)的值域;
(2)求f(x)在[0,π)上的单调递减区间.
分析:(1)根据三角函数的诱导公式与辅助角公式,化简可得f(x)=
2
sin(
x
2
+
π
4
),再由x∈R,-1≤sin(
x
2
+
π
4
)≤1,可得函数f(x)的值域为[-
2
2
];
(2)先根据函数y=sinx的单调区间的结论,求得f(x)的单调递减区间是[
π
2
+4kπ,
2
+4kπ],(k为整数),取k=0得到一个区间,将它与[0,π)取交集可得[
π
2
,π),即得f(x)在[0,π)上的单调递减区间.
解答:解:(1)∵f(x)=cos(-
x
2
)+cos(
1
2
π-
x
2
),x∈R

∴f(x)=cos
x
2
+sin
x
2
=
2
(sin
π
4
cos
x
2
+cos
π
4
sin
x
2
)=
2
sin(
x
2
+
π
4

∵x∈R,∴-1≤sin(
x
2
+
π
4
)≤1,
2
sin(
x
2
+
π
4
)∈[-
2
2
]
即函数f(x)的值域为[-
2
2
];
(2)由f(x)=
2
sin(
x
2
+
π
4
),令
π
2
+2kπ≤
x
2
+
π
4
2
+2kπ,(k为整数)
解之得
π
2
+4kπ≤x≤
2
+4kπ,所以f(x)的单调递减区间是[
π
2
+4kπ,
2
+4kπ],(k为整数).
取k=0,得[
π
2
2
],与[0,π)取交集可得[
π
2
,π)
∴f(x)在[0,π)上的单调递减区间为[
π
2
,π).
点评:本题借助于一个特殊的三角函数,通过求函数的值域与单调区间,考查了正弦函数的单调性、三角函数的化简与求值等知识点,属于基础题.
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