题目内容

如图,M是单位圆与x轴正半轴的交点,点P在单位圆上,,四边形OMQP的面积为S,函数
(1)求函数f(x)的表达式及单调递增区间;
(2)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若,求c的值.

【答案】分析:(1)由题设条件知M(1,0),P(cosx,sinx),故=(1+cosx,sinx),=1+cosx,S=sinx,由此能求出函数f(x)的表达式及单调递增区间;
(2)根据f(A)=3可求出A,然后利用正弦定理求出角B,最后根据勾股定理可求出c的值.
解答:解:(1)∵点M是单位圆O(O是坐标原点)与X轴正半轴的交点,
∴M(1,0),
∵点P在单位圆上,∠MOP=x,OQ=OP=OM,
∴P(cosx,sinx),
=(1+cosx,sinx),=1+cosx,
∵S=sinx,
∴f(x)=1+cosx+sinx=2sin(x+)+1,0<x<π,
令-+2kπ≤x++2kπ,
∴-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
∵0<x<π,
∴函数f(x)的单递增调区间为(0,].
(2)∵f(A)=3∴2sin(A+)+1=3∴sin(A+)=1
在△ABC中,0<A<π,<A+
∴A+=,A=
由a=2,b=2及正弦定理得
∴sinB=
∵0<B<π,B<A∴B=∴C=
∴c2=a2+b2=16
∴c=4
点评:本题主要考查了函数单调递增区间,以及正弦定理,注意单位圆及三角函数知识的合理运用,同时考查了运算求解的能力,属于中档题.
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