Question

如图，M是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠MOP=x(0＜x＜π)，

OQ

=

OM

+

OP

，四边形OMQP的面积为S，函数f(x)=

OM

•

OQ

+

3

S．
（1）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若f(A)=3，b=1，S△ABC=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由题意，|

OQ

|=

(1+cosx)2+sin2x

，化简得|

OQ

|=2|cos

1

2

x|，从而得到

OM

•

OQ

=2cos²

1

2

x=1+cosx；四边形OMQP的面积S=|

OM

|•|

OP

|sin∠POM=sinx．代入题中的表达式并化简整理，得f（x）=2sin（x+

π

6

）+1，利用正弦函数的单调性解不等式，即可得到函数f（x）的单调递增区间；
（2）根据f（A）=3，解出A=

π

3

，再由面积正弦定理算出边c=4，最后利用余弦定理即可计算出边a的值．

解答：解：（1）由题意，得M（1，0），P（cosx，sinx），
∴

OQ

=

OM

+

OP

=（1+cosx，sinx）
得四边形OMQP的面积S=|

OM

|•|

OP

|sin∠POM=sinx

OM

•

OQ

=|

OM

|•|

OQ

|cos∠QOM=1×

(1+cosx)2+sin2x

×cos

1

2

x
而

(1+cosx)2+sin2x

=

2+2cosx

=

2+2(2cos2 x 2 -1)

=2|cos

1

2

x|
∵0＜

1

2

x＜

π

2

，得cos

1

2

x是正数，∴

OM

•

OQ

=2cos²

1

2

x=1+cosx
因此，f(x)=

OM

•

OQ

+

3

S=1+cosx+

3

sinx=2sin（x+

π

6

）+1
即函数f（x）的表达式为y=2sin（x+

π

6

）+1
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

2π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ（k∈Z）
∴f（x）的增区间为[-

2π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]（k∈Z）
（2）f（A）=2sin（A+

π

6

）+1=3，得sin（A+

π

6

）=1
结合A∈（0，π），得A=

π

3

∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

，即

1

2

×1×c×sin

π

3

=

3

，可得c=4
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=1²+4²-2×1×4×cos

π

3

=13
∴a=

13

点评：本题给出单位圆中的向量，求四边形面积和向量的数量积，并求与之相关的三角函数的单调区间．着重考查了平面向量的数量积、三角恒等变换和利用正余弦定理解三角形等知识点，属于中档题．