题目内容
(文)已知点P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)(n为正整数)都在函数y=ax(a>0,a≠1)的图象上,其中{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.(1)求数列{an}的通项公式,并证明数列{bn}是等比数列;
(2)设数列{bn}的前n项的和Sn,求

(3)设Qn(an,0),当

【答案】分析:(1)直接利用定义即可求数列{an}的通项公式,再代入求出数列{bn}的通项公式,用定义即可证明数列{bn}是等比数列;
(2)先直接代入公式求出Sn以及
的表达式,再分a的不同取值来求结论即可;
(3)先找到△OPnQn的面积的表达式,设出对应数列,再利用求数列最大项的方法求出△OPnQn的面积的最大值即可.
解答:解:(1)an=2n-1,(n∈N*),
,
∴
,
∴数列{bn}是等比数列.
(2)因为{bn}是等比数列,且公比a2≠1,
∴
,
.
当0<a<1时,
;
当a>1时,
.
因此,
.
(3)
,
,
设
,
当cn最大时,则
,
解得
,n∈N*,∴n=2.
所以n=2时cn取得最大值
,
因此△OPnQn的面积存在最大值
.
点评:本题考查等差数列与等比数列的基础知识,数列最大项的求法和数列的极限.知识点较多,属于中档题.
(2)先直接代入公式求出Sn以及

(3)先找到△OPnQn的面积的表达式,设出对应数列,再利用求数列最大项的方法求出△OPnQn的面积的最大值即可.
解答:解:(1)an=2n-1,(n∈N*),

∴

∴数列{bn}是等比数列.
(2)因为{bn}是等比数列,且公比a2≠1,
∴


当0<a<1时,

当a>1时,

因此,

(3)


设

当cn最大时,则

解得

所以n=2时cn取得最大值

因此△OPnQn的面积存在最大值

点评:本题考查等差数列与等比数列的基础知识,数列最大项的求法和数列的极限.知识点较多,属于中档题.

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