题目内容

（文）已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n为正整数）都在函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象上，其中{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式，并证明数列{bn}是等比数列；
（2）设数列{bn}的前n项的和Sn，求
lim
n→∞
Sn
Sn+1
；
（3）设Qn（an，0），当a=
2
3
时，问△OPnQn的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）直接利用定义即可求数列{an}的通项公式，再代入求出数列{bn}的通项公式，用定义即可证明数列{bn}是等比数列；
（2）先直接代入公式求出Sn以及
sn
sn+1
的表达式，再分a的不同取值来求结论即可；
（3）先找到△OPnQn的面积的表达式，设出对应数列，再利用求数列最大项的方法求出△OPnQn的面积的最大值即可．
解答：解：（1）an=2n-1，（n∈N*），bn=aan=a2n-1，
∴
bn+1
bn
=a2(定值)，
∴数列{bn}是等比数列．
（2）因为{bn}是等比数列，且公比a2≠1，
∴Sn=
a(1-a2n)
1-a2
，
Sn
Sn+1
=
1-a2n
1-a2n+2
．
当0＜a＜1时，
lim
n→∞
Sn
Sn+1
=1；
当a＞1时，
lim
n→∞
Sn
Sn+1
=
lim
n→∞
1-a2n
1-a2n+2
=
lim
n→∞
1
a2n
-1
1
a2n
-a2
=
1
a2
．
因此，
lim
n→∞
Sn
Sn+1
=
1，0＜a＜1
1
a2
，a＞1
．
（3）bn=(
2
3
)2n-1，S△=
1
2
•(2n-1)•(
2
3
)2n-1，
设cn=
1
2
•(2n-1)•(
2
3
)2n-1，
当cn最大时，则
cn≥cn-1
cn≥cn+1
，
解得
n≤2.3
n≥1.3
，n∈N*，∴n=2．
所以n=2时cn取得最大值
4
9
，
因此△OPnQn的面积存在最大值
4
9
．
点评：本题考查等差数列与等比数列的基础知识，数列最大项的求法和数列的极限．知识点较多，属于中档题．
练习册系列答案
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（09年日照质检文）（12分）

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是公差不为零的等差数列，为等比数列，O为坐标原点，若P1是线段AB的中点。

   （I）求的值；

   （II）点能否在同一条直线上？证明你的结论。
（文）已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n为正整数）都在函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象上，其中{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式，并证明数列{bn}是等比数列；
（2）设数列{bn}的前n项的和Sn，求；
（3）设Qn（an，0），当时，问△OPnQn的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
（文）已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n为正整数）都在函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象上，其中{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式，并证明数列{bn}是等比数列；
（2）设数列{bn}的前n项的和Sn，求；
（3）设Qn（an，0），当时，问△OPnQn的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
（文）已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n为正整数）都在函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象上，其中{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式，并证明数列{bn}是等比数列；
（2）设数列{bn}的前n项的和Sn，求；
（3）设Qn（an，0），当时，问△OPnQn的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

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