题目内容

设a，b为常数，M{f(x)|f(x)=acosx+bsinx}；F：把平面上任意一点(a，b)映射为函数acodx+bsinx．

（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；

（2）证明：当f0(x)ÎM时，f1(x)=f0(x+t)ÎM，这里t为常数；

（3）对于属于M的一个固定值f0(x)，得M1={f0(

答案：
解析：

（1）证明：假设有两个不同的点(a，b)，(c，d)对应同一函数，即F(a，b)=acosx+bsinx与F(c，d)=ccosx+dsinx相同，即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对于一切实数x成立．令x=0，得a=c；令，得b=d这与(a，b)，(c，d)是两个不同点矛盾，设不成立．故不存在两个不同点对应同函数．

（2）证明：当f0(x)ÎM时，可得常数a0，b0，即f0(x)=a0cosx+b0sinx，

f1(x)=f0(x+t)=a0cos(x+t)+b0sin(x+t)=(a0cost+b0sint)cosx+(b0cost-a0sint)sinx，因为a0，a0，t为常数，设a0cost+b0sint=m，b0cost-a0sint=n，则m，n是常数．所以f1(x)=mcosx+nsinxÎM

（3）解：当f0(x)ÎM时，由此得f0(x+t)=mcosx+nsinx，其中m=a0cost+b0sint，n=b0cost-a0sint，在映射F之下，f0(x+t)的原象是(m，n)，则M1的原象是{(m，n)|m=a0cost+b0sint，n=b0cost-a0sint，tÎR}．消去t得，即在映射F之下，M1的原象{(m，n)|m2+n2=<span style='mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol'>}是以原点为圆心，为半径的圆．

 


练习册系列答案
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设a、b为常数，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一点（a，b）映射为函数acosx+bsinx．
（1）证明：对F不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：当f0（x）∈M时，f1（x）=f0（x+t）∈M，这里t为常数；
（3）对于属于M的一个固定值f0（x），得M1={f0（x+t）|t∈R}，若映射F的作用下点（m，n）的象属于M1，问：由所有符合条件的点（m，n）构成的图形是什么？

设a，b为常数，M{f(x)|f(x)=acosx+bsinx}；F：把平面上任意一点(a，b)映射为函数acodx+bsinx．

（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；

（2）证明：当f0(x)ÎM时，f1(x)=f0(x+t)ÎM，这里t为常数；

（3）对于属于M的一个固定值f0(x)，得M1={f0(x+t)，tÎR}，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图像．

 

设a、b为常数，M＝{f(x)|f(x)＝acosx＋bsinx}；F：把平面上任意一点(a，b)映射为函数acosx＋bsinx．

(1)证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；

(2)证明：当f0(x)∈M时，f1(x)＝f0(x＋t)∈M，这里t为常数；

(3)对于属于M的一个固定值f0(x)，得M1＝{f0(x＋t)，t∈R}，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？
设a、b为常数，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一点（a，b）映射为函数acosx+bsinx．
（1）证明：对F不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：当f（x）∈M时，f1（x）=f（x+t）∈M，这里t为常数；
（3）对于属于M的一个固定值f（x），得M1={f（x+t）|t∈R}，若映射F的作用下点（m，n）的象属于M1，问：由所有符合条件的点（m，n）构成的图形是什么？

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