题目内容
已知直角的三边长
,满足
(1)在之间插入2011个数,使这2013个数构成以
为首项的等差数列
,且它们的和为
,求的最小值;
(2)已知均为正整数,且
成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列
,且
,求满足不等式
的所有
的值;
(3)已知成等比数列,若数列
满足
,证明:数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且
是正整数.
【答案】
(1)最小值为; (2) 2、3、4.
(3)证明:由成等比数列,
.
由于为直角三角形的三边长,证明数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形. 证得
,
故对于任意的都有
是正整数.
【解析】
试题分析:(1)是等差数列,∴
,即
. 2分
所以,的最小值为
; 4分
(2)
设的公差为
,则
5分
设三角形的三边长为,面积
,
,
. 7分
由得
,
当时,
,
经检验当时,
,当
时,
9分
综上所述,满足不等式的所有
的值为2、3、4. 10分
(3)证明:因为成等比数列,
.
由于为直角三角形的三边长,知
,
, 11分
又,得
,
于是
.…
12分
,则有
.
故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形. 14分
因为 ,
, 15分
由,同理可得
,
故对于任意的都有
是正整数. 16分
考点:本题主要考查等差数列、等比数列的基础知识,构成直角三角形的条件。
点评:难题,本题综合性较强,涉及等差数列、等比数列、不等式及构成直角三角形的条件。对法则是自点变形能力要求高,易出错。

练习册系列答案
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已知△ABC的三边长为a、b、c,满足直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离,则△ABC是( )
A、锐角三角形 | B、直角三角形 | C、钝角三角形 | D、以上情况都有可能 |