题目内容
【题目】已知直线
交抛物线
于两点，过点
分别作抛物线
的切线，若两条切线互相垂直且交于点
.
（1）证明：直线恒过定点；
（2）若直线的斜率为1，求点的坐标.
【答案】（1）见解析； （2）
.
【解析】
（1）由
得
，利用导数可得直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，结合
，可得
，即
，从而利用韦达定理可得
，则直线
恒过定点
；（2）求出直线的方程为
，直线的方程为
，解得点
的坐标为
，结合（1）利用韦达定理可得结果.
（1）证明：易知直线
的斜率存在，设直线
，
，
.
由得，
所以
，
.
由
，得
，所以
，
所以直线的斜率为，直线的斜率为.
因为，所以，即，
所以
，得，
所以直线，故直线恒过定点.
（2）由（1）得直线的斜率为1时，
，.
直线的方程为
，即
，
同理直线的方程为，即
，
上面两式联立得
，
，所以点的坐标为，即.
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【题目】2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品
的研发费用
（百万元）和销量
（万盒）的统计数据如下：
研发费用 | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 15 | 18 | 21 |
销量 | 1 | 1 | 2 | 2.5 | 3.5 | 3.5 | 4.5 | 6 |
（1）求与的相关系数
精确到0.01，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：
时，可用线性回归方程模型拟合）；
（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型
，
，
，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为
，
，
，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，
．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为
，求的数学期望．
附：（1）相关系数
（2）
，
，
，
．
