Question

【题目】已知直线交抛物线于两点，过点分别作抛物线的切线，若两条切线互相垂直且交于点.

（1）证明：直线恒过定点；

（2）若直线的斜率为1，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）由得，利用导数可得直线的斜率为，直线的斜率为，结合，可得，即，从而利用韦达定理可得，则直线恒过定点；（2）求出直线的方程为，直线的方程为，解得点的坐标为，结合（1）利用韦达定理可得结果.

（1）证明：易知直线的斜率存在，设直线，，.

由得，

所以，.

由，得，所以，

所以直线的斜率为，直线的斜率为.

因为，所以，即，

所以，得，

所以直线，故直线恒过定点.

（2）由（1）得直线的斜率为1时，，.

直线的方程为，即，

同理直线的方程为，即，

上面两式联立得，，所以点的坐标为，即.