题目内容

已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆G与x轴交于A、C两点，与y轴交于B、D两点，且A点的坐标为（-2，0），四边形ABCD的面积为4．
（1）求椭圆G的方程；
（2）过x轴上一点M（1，0）作一条不垂直于y轴的直线l，交椭圆G于E、F点，是否存在直线l，使得△AEF的面积为 $数学公式$ ，说明理由．

解：（1）∵A（-2，0），∴AC=4，
由题设知四边形ABCD为菱形，且其面积S= $\text{[math]}$ =4，
∴BD=2，
∴椭圆G是焦点在x轴上的椭圆，且a=2，b=1，
∴椭圆G的方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）∵直线l不垂直于y轴，∴设直线l的方程为x=my+1，
由 $\text{[math]}$ ，得（m²+4）y²+2my-3=0，
△=4m²+12（m²+4）＞0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2= $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
设△AEF的面积为S，则S= $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
=9× $\text{[math]}$
=9× $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，则t $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，故S≠ $\text{[math]}$ ，
所以不存在直线l，使得△AEF的面积为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由A（-2，0），知AC=4，由题设知四边形ABCD为菱形，且其面积S= $\text{[math]}$ =4，故BD=2，所以椭圆G是焦点在x轴上的椭圆，且且a=2，b=1，由此能求出椭圆G的方程．
（2）设直线l的方程为x=my+1，由 $\text{[math]}$ ，得（m²+4）y²+2my-3=0，△=4m²+12（m²+4）＞0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此能推导出不存在直线l，使得△AEF的面积为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查椭圆方程的求法和判断是否存在直线方程，使得三角形的面积为定值．综合性强，难度大，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，注意计算能力和解题能力的培养．