题目内容
【题目】如图,已知四边形的直角梯形,
,
,
,
为线段
的中点,
平面
,
,
为线段
上一点(
不与端点重合).
(Ⅰ)若,
(i)求证:平面
;
(ii)求直线与平面
所成的角的大小;
(Ⅱ)否存在实数满足
,使得平面
与平面
所成的锐角为
,若存在,确定
的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(i)见解析(ii)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)(i)先根据平行四边形性质得,再根据线面平行判定定理得结果,(ii)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,列方程组解得平面
的法向量,根据向量数量积得向量夹角,最后根据线面角与向量夹角关系得结果.(Ⅱ)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,列方程组解得两平面法向量,根据向量数量积得向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
(Ⅰ)(i)证明:连接交
于点
,连接
,
,依题意易证四边形
为平行四边形.
∴又∵
,
∴又∵
平面
,
平面
,
∴平面
.
(ii)解:如图,在平行四边形中∵
,
,∴
以为原点建立空间直角坐标系
则,
∴
设为平面
的法向量
则,得
,不妨设
∴
又,∴
即直线与平面
所成的角的大小为
.
(Ⅱ)设
∴
∴
设为平面
的法向量,
则得,
,不妨设
,
又平面的法向量为
,
∴.
∴∴
,
,∴
.

练习册系列答案
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【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表所示.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 5 | ||
第2组 | ① | ||
第3组 | 30 | ② | |
第4组 | 20 | ||
第5组 | 10 |
(1)请先求出频率分布表中位置的相应数据,再完成频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;
(3)在(2)的前提下,学校决定在名学生中随机抽取
名学生接受
考官进行面试,求:第
组至少有一名学生被考官
面试的概率.