题目内容

过椭圆
x2
5
+
y2
4
=1
的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(  )
A、2
B、
2
3
C、1
D、
5
3
分析:用点斜式求出直线AB的方程,应用弦长公式求得弦长AB,求出O 到直线AB的距离d,即可求得△OAB的面积为
1
2
•AB•d
 的值.
解答:解:椭圆
x2
5
+
y2
4
=1
的右焦点(1,0),直线AB的方程为y-0=2(x-1),
即  y=2x-2,代入椭圆
x2
5
+
y2
4
=1
化简可得6x2-10x=0,
∴x1+x2=
5
3
,x1•x2=0,∴AB=
1+4
(x1+x2)2-4x1x2
=
5
5
3

O到直线AB的距离d=
|0-0-2|
4+1
=
2
5
,故△OAB的面积为
1
2
•AB•d
=
1
2
5
5
3
2
5
=
5
3

故选D.
点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,弦长公式的应用,求出弦长AB和O 到直线AB的距离d,是解题的关键.
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