题目内容

x2 |
5 |
y2 |
4 |
(1)求此椭圆的左焦点F的坐标和椭圆的准线方程(x=±
a2 |
c |
(2)求弦AB中点M的轨迹方程.
分析:(1)由方程知 a=
,b=2,从而求得焦点坐标和离心率的值.
(2)由
消y得:(4+5k2)x2+10k2 x+5k-20=0,故 x1+x2=
,再由中点公式得x=
,又由 y=k(x+1)可得 4x2+4x+5y2=0,即为所求.
5 |
(2)由
|
-10k2 |
4+5k2 |
-5k2 |
4+5k2 |
解答:
解:(1)由方程知 a=
,b=2,故左焦点F(-1,0),
离心率 e=
=
.
(2)设M(x,y),A( x1,y1 ),B(x2,y2 ),直线AB方程为 y=k(x+1),
由
消y得:(4+5k2)x2+10k2 x+5k-20=0,
∴x1+x2=
,因为M是AB中点,有 x=
,
∴x=
,∴k2=
,
又由 y=k(x+1)可得 y2=k2(x+1)2,∴y2=
(x+1)2,
∴5y2=-4x(x+1),即 4x2+4x+5y2=0,即 4(x+
)2+5y2=1,
当直线AB的斜率k不存在时,AB⊥x轴,AB中点M 的坐标为(-1,0),也适合上述方程,
故 4(x+
)2+5y2=1 为所求.

5 |
离心率 e=
c |
a |
| ||
5 |
(2)设M(x,y),A( x1,y1 ),B(x2,y2 ),直线AB方程为 y=k(x+1),
由
|
∴x1+x2=
-10k2 |
4+5k2 |
x1+x2 |
2 |
∴x=
-5k2 |
4+5k2 |
-4x |
5(x+1) |
又由 y=k(x+1)可得 y2=k2(x+1)2,∴y2=
-4x |
5(x+1) |
∴5y2=-4x(x+1),即 4x2+4x+5y2=0,即 4(x+
1 |
2 |
当直线AB的斜率k不存在时,AB⊥x轴,AB中点M 的坐标为(-1,0),也适合上述方程,
故 4(x+
1 |
2 |
点评:本题考查点轨迹方程的求法,椭圆的简单性质的应用,体现了分类讨论的数学思想,得到 y2=
(x+1)2,是解题的关键.
-4x |
5(x+1) |

练习册系列答案
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过椭圆
+
=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
x2 |
5 |
y2 |
4 |
A、2 | ||
B、
| ||
C、1 | ||
D、
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