题目内容

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为an=2n-1,已知函数f(x)=cosx•cos(x-A)-
1
2
cosA
(x∈R).
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=
π
6
处取得最大值,且
AB
AC
=2
,求△ABC的面积S.
分析:(Ⅰ)利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数f(x)的解析式为一个角的一个三角函数的形式,由此求函数f(x)的最小正周期,求它的最大值.
(Ⅱ)函数f(x)在x=
π
6
处取得最大值,求出A,利用数量积求出bc的值,然后求解三角形的面积.
解答:(本题满分14分)
解:(Ⅰ)依题意,f(x)=cos2xcosA+cosxsinxsinA-
1
2
cosA
…(2分)
=
1
2
(cos2x•cosA+sin2x•sinA)
=
1
2
cos(2x-A)
…(5分)
∴函数f(x)的最小正周期是π,f(x)有最大值
1
2
.       …(7分)
(Ⅱ)由( I)知:由
π
3
-A=2kπ,k∈Z
,得A=
π
3
-2kπ∈(0,π)

A=
π
3

AB
AC
=2
,∴bc=4.
S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
…(14分)
点评:本题主要考查两角和差的正弦公式,二倍角公式的应用,函数的周期以及最值的求法,考查计算能力.
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