题目内容

【题目】1)如图,对于任一给定的四面体,找出依次排列的四个相互平行的平面,使得,且其中每相邻两个平面间的距离都相等;

2)给定依次排列的四个相互平行的平面,其中每相邻两个平面间的距离为1,若一个正四面体的四个顶点满足:,求该正四面体的体积.

【答案】1)见解析; 2.

【解析】

1)根据题意要作出相互平行且相邻距离相等的平面,所以先作直线平行,且取等分点,例如可取的三等分点的中点的中点,则有,从而可得面面平行;

2)先将正四面体补形为正方体,结合条件确定正方体的棱长,即可求正四面体的体积.

1

的三等分点的中点的中点

过三点作平面,过三点作平面

因为,所以平面平面

再过点分别作平面与平面平行,那么四个平面,依次相互平行,

由线段被平行平面截得的线段相等知,每相邻两个平面间的距离相等,故为所求平面.

2)如图,将此正四面体补形为正方体(如图),

分别取的中点

平面是分别过点的两平行平面,若其距离为1

则正四面体满足条件,右图为正方体的下底面,设正方体的棱长为

,因为

在直角三角形中,,所以,所以

又正四面体的棱长为

所以此正四面体的体积为

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