题目内容
【题目】(1)如图,对于任一给定的四面体,找出依次排列的四个相互平行的平面,,,,使得,且其中每相邻两个平面间的距离都相等;
(2)给定依次排列的四个相互平行的平面,,,,其中每相邻两个平面间的距离为1,若一个正四面体的四个顶点满足:,求该正四面体的体积.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1)根据题意要作出相互平行且相邻距离相等的平面,所以先作直线平行,且取等分点,例如可取的三等分点,,的中点,的中点,则有,,从而可得面面平行;
(2)先将正四面体补形为正方体,结合条件确定正方体的棱长,即可求正四面体的体积.
(1)
取的三等分点,,的中点,的中点,
过三点,,作平面,过三点,,作平面,
因为,,所以平面平面,
再过点,分别作平面,与平面平行,那么四个平面,,,依次相互平行,
由线段被平行平面,,,截得的线段相等知,每相邻两个平面间的距离相等,故,,,为所求平面.
(2)如图,将此正四面体补形为正方体(如图),
分别取、、、的中点、、、,
平面与是分别过点、的两平行平面,若其距离为1,
则正四面体满足条件,右图为正方体的下底面,设正方体的棱长为,
若,因为,,
在直角三角形中,,所以,所以,
又正四面体的棱长为,
所以此正四面体的体积为.
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