Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若经过点（0， ）且斜率为k的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q． （Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆C与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量 与 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得椭圆方程为 ，

且2c=2， ，∴c=1，a= ，b2=a2﹣c2=1，

∴椭圆方程为： ；

（2）解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为 ，

代入椭圆方程得 ．

整理得 ，①

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 ，

解得 或 ．

即k的取值范围为 ；

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则 ，

由方程①，得 ．②

又 ．③

而 ．

∴ 与 共线等价于 ，

将②③代入上式，解得 ．

由（1）知 或 ，

故没有符合题意的常数k

【解析】（1）由题意设出椭圆标准方程，且求得c，a的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）（Ⅰ）写出直线方程，与椭圆方程联立，利用判别式大于0求得k的范围；（Ⅱ）利用根与系数的关系求出P，Q两点的横坐标与纵坐标的和，结合 与 共线求得k值，与（1）中求出的k的范围矛盾．