Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a、b∈[-1，1]，a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立
（1）判断f（x）的单调性，并说明理由；     
（2）解不等式f（x）＜f(

1

x+1

)
（3）若f（x）≤2m²-2am+3对所有的m∈[0，3]恒成立，求a的范围．

Answer 1

分析：（1）利用题目给出的等式及函数单调性的定义判断函数f（x）的单调性；
（2）在保证不等式本身有意义的前提下，运用（1）判明的函数f（x）的增减性脱掉对应关系求解不等式；
（3）先求出函数f（x）在[-1，1]上的最大值，代入不等式后得到新不等式，然后借助于分离变量法求实数a的取值范围．

解答：解：（1）取a=x₁，b=-x₂∈[-1，1]，且x₁＞x₂，则x₁-x₂=a+b＞0，
因为f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，则f（a）+f（b）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂），
所以f(x1)-f(x2)=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

(x1-x2)=

f(a)+f(b)

a+b

(a+b)＞0，所以f（x₁）＞f（x₂）
所以函数f（x）是定义在[-1，1]上的增函数．
（2）因为f（x）是定义在[-1，1]，且函数f（x）是定义在[-1，1]上的增函数，
所以f(x)＜f(

1

x+1

)?

-1≤x≤1 -1≤ 1 x+1 ≤1 x＜ 1 x+1

，解得：0≤x＜

5 -1

2

所以不等式f（x）＜f(

1

x+1

)的解集为[0，

5 -1

2

）
（3）因为函数f（x）是定义在[-1，1]上的增函数，
所以在[-1，1]上函数f（x）的最大值为f（1）=2，
若f（x）≤2m²-2am+3对所有的m∈[0，3]恒成立，即2≤2m²-2am+3对所有的m∈[0，3]恒成立，
也就是2m²-2am+1≥0恒成立，
分离变量得：a≤m+

1

2m

恒成立，
因为m+

1

2m

≥2

m× 1 2m

=

2

（当且仅当m=

2

2

时取等号）
所以a≤

2

．
所以所求a的范围是（-∞，

2

]．

点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性的结合，考查了运用单调性求解不等式的方法，训练了运用分离变量法求解恒成立的问题，同时训练了利用基本不等式求函数的最值，是一个非常好的综合题．