题目内容

设函数F(x )=x2+aln(x+1)
(I)若函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,求实数a的取值范围;
(II)若函数y=f(x)有两个极值点x1,x2,求证:.

(Ⅰ); (II)见解析.

解析试题分析:(Ⅰ)利用导数,先对函数进行求导,让,在[1,+∞)上是恒成立的,求解可得a的取值范围;(II)令,依题意方程在区间有两个不等的实根,记,则有,得,然后找的表达式,利用导数求此函数单调性,可得结论.
试题解析:(Ⅰ)在区间上恒成立,
区间上恒成立,       1分
.      3分
经检验, 当时,时,
所以满足题意的a的取值范围为.      4分
(Ⅱ)函数的定义域,依题意方程在区间有两个不等的实根,记,则有,得.       6分
法一:
,令,    8分
,
因为,存在,使得






-
0
+
,所以函数为减函数,   10分
        12分
法二:6分段后面还有如下证法,可以参照酌情给分.
【证法2】为方程的解,所以,
,∴

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