题目内容
设函数F(x )=x2+aln(x+1)
(I)若函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,求实数a的取值范围;
(II)若函数y=f(x)有两个极值点x1,x2且,求证:
.
(Ⅰ); (II)见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)利用导数,先对函数进行求导,让,在[1,+∞)上是恒成立的,求解可得a的取值范围;(II)令
,依题意方程
在区间
有两个不等的实根,记
,则有
,得
,然后找
的表达式,利用导数求此函数单调性,可得结论.
试题解析:(Ⅰ)在区间
上恒成立,
即区间
上恒成立, 1分
. 3分
经检验, 当时,
,
时,
,
所以满足题意的a的取值范围为. 4分
(Ⅱ)函数的定义域,
,依题意方程
在区间
有两个不等的实根,记
,则有
,得
. 6分
法一:,
,
,
,令
, 8分
,
,
,
因为,存在
,使得
,
- 0 + ,
,
,所以函数
在
为减函数, 10分
即
12分
法二:6分段后面还有如下证法,可以参照酌情给分.
【证法2】为方程
的解,所以
,
∵,
,
,∴

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