题目内容

如图,已知直线的右焦点F,且交椭圆CAB两点,点AFB在直线上的射影依次为点DKE.

   (1)若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点,求椭圆C的方程;

   (2)对于(1)中的椭圆C,若直线Ly轴于点M,且,当m变化时,求的值;

   (3)连接AEBD,试探索当m变化时,直线AEBD是否相交于一定点N?若交于定点N,请求出N点的坐标,并给予证明;否则说明理由.

(1)(2)(3)AEBD相交于定点


解析:

(1)易知

        

         ………………2分

   (2)

         设

        

         …………………………………………4分

         又由

        

         同理

        

         ……………………………………6分

   (3)

         先探索,当m=0时,直线Lox轴,则ABED为矩形,由对称性知,AEBD相交FK中点N,且

         猜想:当m变化时,AEBD相交于定点……………………8分

         证明:设

         当m变化时首先AE过定点N

        

        

         ANE三点共线

         同理可得BND三点共线

         ∴AEBD相交于定点……………………12分

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