题目内容
(理)(1)证明：若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B，其中A、B为常数，且A≠1，B≠0，则数列{an
}是以A为公比的等比数列；(2)若数列{an}对于任意的n∈N*都有Sn=2an-n，令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn，求函数f(x)在x=1处的导数．
(文)设数列{an}的前n项和为Sn，已知对于任意的n∈N*，都有Sn=2an-n．
(1)求数列{an}的首项a1及递推关系式：an+1=f(an)；
(2)先阅读下面的定理：“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B，其中A、B为常数，且A≠1，B≠0，
则数列{an
}是以A为公比的等比数列”．请你在(1)的基础上应用本定理，求数列{an}的通项公式；
(3)求数列{an}的前n项和Sn．
答案：(理)(1)an+1=Aan+B=Aan
=A(an
)
A(an
)
∴{an
}是以A为公比的等比数列．
(2)∵Sn+1=2an+1-(n+1)，Sn=2an-n
∴an+1=2an+1-2an-1
即an+1=2an+1
由(1)知{an+1}是公比为2的等比数列
∴an=2n-1
∵f′(x)=a1+2a2+3a3x2+…+nanxn-1
∴f′(1)=a1+2a2+3a3+…+nan
=(2+2×22+3×23+…+n×2n)-(1+2+3+…+n)
=2+(n-2)2n+1
(文)(1)∵a1=2a1-1，∴a1=1
∵Sn=2an-n ①
∴Sn+1=2an+1-(n+1) ②
②-①得an+1=2an+1-2an-1
∴an+1=2an+1．
(2)∵an+1=2an+1
∴{an+1}是等比数列，公比为2，首项为an+1=2
∴an+1=2×2n-1，∴an=2n-1．
(3)Sn=(2-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)
=(2+22+23+…+2n)-n=2n+1-2-n．
;
上是否存在点
？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由. 
使
若存在，求出
（a≠0且a≠1）．
上单调递减，在
上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；