Question

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆周上的一点．

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；(6分)

（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C­PB­A的余弦值．（6分）

 

Answer 1

【答案】

(1)答案见详解；（2）

【解析】

试题分析：（1）通过线面垂直即BC⊥平面PAC，可得平面PAC⊥平面PBC；（2）建立空间坐标系，求出两平面的法向量求解或利用线面垂直性质，做出二面角平面角，再求解.

试题解析：(1)证明　由AB是圆的直径，得AC⊥BC，

由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.

又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC.

因为BC⊂平面PBC，

所以平面PBC⊥平面PAC.（5分）

(2)解　方法一　过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.

如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.

因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．

故C＝(，0,0)，C＝(0,1,1)．

设平面BCP的法向量为n₁＝(x，y，z)，则所以

不妨令y＝1，则n₁＝(0,1，－1)．

因为A＝(0,0,1)，A＝(，－1,0)，

设平面ABP的法向量为n₂＝(x，y，z)，

则

所以

不妨令x＝1，则n₂＝(1，，0)．

于是cos〈n₁，n₂〉＝＝.

所以由题意可知二面角C­PB­A的余弦值为.(10分)

方法二

过C作CM⊥AB于M，因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，

所以PA⊥CM，又PA∩AB＝A，故CM⊥平面PAB.

过M作MN⊥PB于N，连接NC，

由三垂线定理得CN⊥PB，

所以∠CNM为二面角C­PB­A的平面角．

在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，

得BC＝，CM＝，BM＝，

在R  t△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝.

因为Rt△BNM∽Rt△BAP，

所以＝，故MN＝.

又在Rt△CNM中，CN＝，故cos∠CNM＝.

所以二面角C­PB­A的余弦值为.（10分）

考点：1、面面垂直；2、二面角.