Question

7．若x＞0，求y=$\frac{2x}{{x}^{2}+3x+5}$的最大值，并指出此时x的取值．

Answer 1

分析 由变量分离可得y=$\frac{2}{x+\frac{5}{x}+3}$，再由基本不等式，即可得到所求最大值，以及x的值．

解答 解：y=$\frac{2x}{{x}^{2}+3x+5}$=$\frac{2}{x+\frac{5}{x}+3}$，
由x＞0，可得x+$\frac{5}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{5}{x}}$=2$\sqrt{5}$，
当且仅当x=$\sqrt{5}$，取得等号．
即有y≤$\frac{2}{2\sqrt{5}+3}$=$\frac{2}{11}$（2$\sqrt{5}$-3），
当x=$\sqrt{5}$时，函数取得最大值$\frac{2}{11}$（2$\sqrt{5}$-3）．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用变量分离和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．