Question

设函数f(x)=2cos2(

π

4

-x)+sin(2x+

π

3

)-1，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求得函数的最小正周期；
（2）根据x∈[0，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，由此可得函数的值域．

解答：解：（1）∵f(x)=2cos2(

π

4

-x)+sin(2x+

π

3

)-1=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+cos(

π

2

-2x)=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x
=

3

sin(2x+

π

6

)
∴函数f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴

3

sin(2x+

π

6

)∈[-

3

2

，

3

]
∴当x∈[0，

π

2

]时，函数f（x）的值域是[-

3

2

，

3

]．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．