Question

4．已知圆x²+y²=25，存在一点P（1，0），过点P作相互垂直的弦AB、CD，求：
（1）S_{四边形ABCD}的最大值；
（2）AB+CD的最大值；
（3）$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PD}$，求|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）先计算圆心O到两条相互垂直的弦的距离，再利用基本不等式，即可求得四边形OMPN面积的最大值
（2）利用（1）的结论和（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，（a=b取等号），即可求得AB+CD的最大值；
（3）由（1）的结论：，|PB|=$\frac{AB}{2}$-d₁，|PD|=$\frac{CD}{2}$-d₂，|AB|=2$\sqrt{25-{{d}_{1}}^{2}}$，|CD|=2$\sqrt{25-{{d}_{2}}^{2}}$，d₁²+d₂²=OP²=1，运用勾股定理和柯西不等式，计算即可得到最小值．

解答 解：（1）∵圆O：x²+y²=25，
∴圆心O坐标（0，0），半径r=5，
设圆心O到两条相互垂直的弦AB，CD的距离分别为d₁、d₂，
∴d₁²+d₂²=OP²=1，
则四边形ACBD的面积为S=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|=2$\sqrt{25-{{d}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{25-{{d}_{2}}^{2}}$，
≤（25-d₁²）+（25-d₂²）=50-1=49，
当且仅当d₁=d₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，S取得最大值，且为49；
（2）由（1）可得d₁²+d₂²=OP²=1，
|AB|+|CD|=2（$\sqrt{25-{{d}_{1}}^{2}}$+$\sqrt{25-{{d}_{2}}^{2}}$），
由（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，（a=b取等号），
可得|AB|+|CD|≤2$\sqrt{2[（25-{{d}_{1}}^{2}）+（25-{{d}_{2}}^{2}）]}$=14$\sqrt{2}$，
当且仅当d₁=d₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，|AB|+|CD|取得最大值，且为14$\sqrt{2}$；
（3）由于$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{PB}$⊥$\overrightarrow{PD}$，
则有${\overrightarrow{PQ}}^{2}$=${\overrightarrow{PB}}^{2}$+${\overrightarrow{PD}}^{2}$+2$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PD}$=${\overrightarrow{PB}}^{2}$+${\overrightarrow{PD}}^{2}$，
由（1）可得，|PB|=$\frac{AB}{2}$-d₁，|PD|=$\frac{CD}{2}$-d₂，|AB|=2$\sqrt{25-{{d}_{1}}^{2}}$，|CD|=2$\sqrt{25-{{d}_{2}}^{2}}$，
d₁²+d₂²=OP²=1，
则有|PQ|²=$\frac{1}{4}$（|AB|²+|CD|²）+d₁²+d₂²-2d₁$\sqrt{25-{{d}_{1}}^{2}}$-2d₂$\sqrt{25-{{d}_{2}}^{2}}$
=50-2（d₁$\sqrt{25-{{d}_{1}}^{2}}$+d₂$\sqrt{25-{{d}_{2}}^{2}}$）≥50-2$\sqrt{（{{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}）（25-{{d}_{1}}^{2}+25-{{d}_{2}}^{2}）}$
=50-2$\sqrt{50-1}$=36．
即有d₁=d₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，|PQ|取得最小值，且为6．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式和柯西不等式的运用，考查转化思想与计算能力．