题目内容
已知函数
(1)求函数在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数单调递增区间;
(3)若∈[1,1],使得
(e是自然对数的底数),求实数
的取值范围.
(1)函数在点
处的切线方程为
; (2)函数
单调递增区间
;
(3)实数a的取值范围是.
【解析】
试题分析:⑴ 先根据函数解析式求出,把
代入求出斜率,进而求得切线方程;⑵ 因为当
时,总有
在
上是增函数, 又
,所以函数
的单调增区间为
;⑶ 要使
成立,只需
成立即可;再分
和
两种情况讨论即可.
试题解析:⑴ 因为函数,
所以,
, 2分
又因为,所以函数
在点
处的切线方程为
. 4分
⑵ 由⑴,.
因为当时,总有
在
上是增函数,
又,所以不等式
的解集为
,
故函数的单调增区间为
8分
⑶ 因为存在,使得
成立,
而当时,
,
所以只要即可 9分
又因为,
,
的变化情况如下表所示:
减函数 | 极小值 | 增函数 |
所以在
上是减函数,在
上是增函数,所以当
时,
的最小值
,
的最大值
为
和
中的最大值.
因为,
令,因为
,
所以在
上是增函数.
而,故当
时,
,即
;
当时,
,即
.
所以,当时,
,即
,函数
在
上是增函数,解得
;当
时,
,即
,函数
在
上是减函数,解得
.
综上可知,所求的取值范围为
13分
考点:导数的几何意义、导数的应用、构造法的应用.

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