题目内容
（本题满分18分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。
圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知点
、
是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，
是垂直于
轴的一条垂轴弦，直线
分别交轴于点
和点
。
（1）试用
的代数式分别表示
和
；
（2）若C的方程为
（如图），求证：
是与和点
位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。
（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分）
（1）因为
是垂直于
轴的一条垂轴弦，所以
则
……………. 2分
令
则
……………. 4分
同理可得：
，……………. 6分
（2）由（1）可知：
……………. 8分
在椭圆C：
上，
，
则
（定值）
是与和点
位置无关的定值 …………. 12分
（3）第一层次：
①点是圆C：
上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于
轴的垂轴弦，直线
分别交轴于点
和点
，则
。……………. 16分
证明如下：由（1）知：
在圆C：上，
，
则
是与和点位置无关的定值
②点是双曲线C：
上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则
。……………. 16分
证明如下：由（1）知：
在双曲线C：
上，
，
则
是与和点位置无关的定值
第二层次：
点是抛物线C：
上不与顶点重合的任意一点，是垂直于
轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则
。…………. 18分
证明如下：由（1）知： 
，
在抛物线C：上，
则
是与和点位置无关的定值
中，已知过点
的直线与线段
分别相交于点
。若
。
与
的关系为
；
，定义函数
，点列
在函数
的图像上，且数列
是以首项为1，公比为
的等比数列，
为原点，令
，是否存在点
，使得
？若存在，请求出
点坐标；若不存在，请说明理由。
为
上偶函数，当
时
，又函数
对称， 当方程
在
上有两个不同的实数解时，求实数
的取值范围。
，如果存在一个正整数
，使得对任意的
（
）都有
成立，那么就把这样一类数列
时
的周期数列，当
时
是周期为
的周期数列。
满足
（
（
不同时为0），且数列
的周期数列，求常数
的值；
，且
．
，试判断数列
，试判断数列
（
，
，
，数列
的前
，使对任意的
成立，若存在，求出
，如果存在一个正整数
，使得对任意的
（
）都有
成立，那么就把这样一类数列
时
的周期数列，当
时
是周期为
的周期数列。
满足
（
（
不同时为0），且数列
的周期数列，求常数
的值；
，且
．
，试判断数列
，试判断数列
（
，
，
，数列
的前
，使对任意的
成立，若存在，求出
，其中
.
时，设
，
，求
的解析式及定义域；
时，求
的最小值；
，当
时，
对任意
恒成立，求
的取值范围.
是等差数列，且公差为
，若数列
中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
，求证：该数列是“封闭数列”；
是否是“封闭数列”，为什么？
是数列
项和，若公差
，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使
；若存在，求