Question

（2013•广元一模）给出下面四个命题：
p₁：?x∈（0，∞），(

1

2

)x＜(

1

3

)x；
p₂：?x∈（0，1），log

1

2

x＞log

1

3

x，
p₃：?x∈（0，∞），(

1

2

)x＞log

1

2

x；
p₄：?x∈（0，

1

3

），(

1

2

)x＜log

1

3

x，
其中的真命题是（　　）

A．p₁，p₃

B．p₁，p₄

C．p₂，p₃

D．p₂，p₄

Answer 1

分析：分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题．p₁可利用两个指数函数的图象进行判断．p₂可以利用对数的图象来判断．p₃可以利用对数和指数函数的图象来判断．p₄：利用指数函数和对数函数的图象来判断．

解答：解：对应命题p₁可，分别作出函数y=(

1

2

)x与y=(

1

3

)x的图象如图：由图象 可知：?x∈（0，∞），(

1

2

)x＞(

1

3

)x，所以命题p₁错误．

p₂：作出对数函数y1=log

1

2

x，y2=log

1

3

x的图象，由图象知：?x∈（0，1），使命题p₂正确．
p₃：作出函数y1=log?

1

2

x，y2=(

1

2

)x的图象，由图象知命题p₃不正确．
P₄：当x∈（0，

1

3

）时，log?

1

3

x＞1，(

1

2

)x＜1，所以恒有log?

1

3

x＞(

1

2

)x成立，所以命题P₄正确．
故选D．

点评：本题考查了全称命题和特称命题的真假判断，解决本题可以考虑使用数形结合的思想．