Question

给出以下五个命题，其中所有正确命题的序号为   
①函数的最小值为l+2；
②已知函数f （x）=|x²-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，则动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为1；
③命题“函数f（x）=xsinx+1，当x₁，x₂∈，且|x₁|＞|x₂|时，有f （x₁）＞f（x₂）”是真命题；
④“”是函数“y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期为4”的充要条件；
⑤已知等差数列{a_n}的前n项和为Sn，为不共线向量，又，若，则S₂₀₁₂=2013．

Answer 1

【答案】分析：分析①中函数的单调性及定义域，可求出①中函数的最小值，进而判断①的真假；
分析②中函数f （x）=|x²-2|图象和性质及已知中f （a）=f （b），且0＜a＜b，可判断出动点P（a，b）的轨迹方程，分析曲线上点到直线距离的最值，可得答案；
分析③中函数的奇偶性及单调性，即可判断出|x₁|＞|x₂|时，f （x₁）与f（x₂）的大小，进而判断③的真假；
分析④中，的值，及y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期为4时，对应的a值，比较后根据充要条件的定义可得答案；
根据三点共线的充要条件，分析出a+a₂₀₁₂=1，进而根据前n项和公式求出S₂₀₁₂，即可判断⑤的真假．
解答：解：①中函数的定义域为{x|x≥4或x≤0}．
又x∈[4，+∞）时，f（x）单调递增，⇒f（x）≥f（4）=1+2；
而x∈（-∞，0]时，f（x）单调递减，⇒f（x）≥f（0）=0+4=4；
故最小值为1+2，
故①正确；
②中，由题意可得0＜a＜＜b，f （a）=2-a²，f （b）=b²-2，
∴a²+b²=4（0＜a＜＜b），
其图象为一段圆弧，由于弧a²+b²=4（0≤a≤≤b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小的点为（，）
但弧a²+b²=4（0＜a＜＜b）不含（，）点
故②错误；
③中，函数f（x）=xsinx+1为偶函数，且在上为增函数
故当|x₁|＞|x₂|时，有f （x₁）＞f（x₂），
故③正确；
④中，=，则y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期为4，
但当y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期为4，a=±
故“”是函数“y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期为4”的充分不必要条件；
故④错误；
⑤中，若，则P，A，B三点共线
又，
∴a+a₂₀₁₂=1
∴S₂₀₁₂=≠2013
故⑤错误
故答案为：①③
点评：本题是一个函数性质及数列的综合题，难度稍大，熟练掌握函数的定义域、值域（最值）的求法，函数的单调性、奇偶性，充要条件的定义，向量法三点共线的充要条件及数据的前n项和公式是解答的关键．