题目内容

给出以下五个命题，其中所有正确命题的序号为
①③
①③

①函数f(x)=
x2-2x
+2
x2-5x+4
的最小值为l+2
2
；
②已知函数f （x）=|x2-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，则动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为1；
③命题“函数f（x）=xsinx+1，当x1，x2∈[-
π
2
，
π
2
]，且|x1|＞|x2|时，有f （x1）＞f（x2）”是真命题；
④“a=
∫
1
0
1-x2
dx”是函数“y=cos2（ax）-sin2（ax）的最小正周期为4”的充要条件；
⑤已知等差数列{an}的前n项和为Sn，
OA
，
OB
为不共线向量，又
OP
=a
OA
+a2012
OB
，若
PA
=λ
PB
，则S2012=2013．
分析：分析①中函数的单调性及定义域，可求出①中函数的最小值，进而判断①的真假；
分析②中函数f （x）=|x2-2|图象和性质及已知中f （a）=f （b），且0＜a＜b，可判断出动点P（a，b）的轨迹方程，分析曲线上点到直线距离的最值，可得答案；
分析③中函数的奇偶性及单调性，即可判断出|x1|＞|x2|时，f （x1）与f（x2）的大小，进而判断③的真假；
分析④中，a=
∫
1
0
1-x2
dx的值，及y=cos2（ax）-sin2（ax）的最小正周期为4时，对应的a值，比较后根据充要条件的定义可得答案；
根据三点共线的充要条件，分析出a+a2012=1，进而根据前n项和公式求出S2012，即可判断⑤的真假．
解答：解：①中函数f(x)=
x2-2x
+2
x2-5x+4
的定义域为{x|x≥4或x≤0}．
又x∈[4，+∞）时，f（x）单调递增，⇒f（x）≥f（4）=1+2
2
；
而x∈（-∞，0]时，f（x）单调递减，⇒f（x）≥f（0）=0+4=4；
故最小值为1+2
2
，
故①正确；
②中，由题意可得0＜a＜
2
＜b，f （a）=2-a2，f （b）=b2-2，
∴a2+b2=4（0＜a＜
2
＜b），
其图象为一段圆弧，由于弧a2+b2=4（0≤a≤
2
≤b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小的点为（
2
，
2
）
但弧a2+b2=4（0＜a＜
2
＜b）不含（
2
，
2
）点
故②错误；
③中，函数f（x）=xsinx+1为偶函数，且在[0，
π
2
]上为增函数
故当|x1|＞|x2|时，有f （x1）＞f（x2），
故③正确；
④中，a=
∫
1
0
1-x2
dx=
π
4
，则y=cos2（ax）-sin2（ax）的最小正周期为4，
但当y=cos2（ax）-sin2（ax）的最小正周期为4，a=±
π
4

故“a=
∫
1
0
1-x2
dx”是函数“y=cos2（ax）-sin2（ax）的最小正周期为4”的充分不必要条件；
故④错误；
⑤中，若
PA
=λ
PB
，则P，A，B三点共线
又
OP
=a
OA
+a2012
OB
，
∴a+a2012=1
∴S2012=
2012(a+a2012)
2
=1006≠2013
故⑤错误
故答案为：①③
点评：本题是一个函数性质及数列的综合题，难度稍大，熟练掌握函数的定义域、值域（最值）的求法，函数的单调性、奇偶性，充要条件的定义，向量法三点共线的充要条件及数据的前n项和公式是解答的关键．
练习册系列答案
相关题目
给出以下五个命题：其中正确命题的序号是
①②③⑤
①②③⑤
．
①命题“对任意x∈Rx2+x+1＞0”的否定是“存在x∈Rx2+x+1≤0”
②函数f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在区间（0、1）上存在零点
③“a=1”是“函数y=cos2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件
④直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8交于A、B两点，则|AB|=2
2

⑤若直线2ax-bx+8=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+4x-8y+1=0周长则
8
a
+
2
b
最小值为9．
给出以下五个命题，其中所有正确命题的序号为   
①函数的最小值为l+2；
②已知函数f （x）=|x2-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，则动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为1；
③命题“函数f（x）=xsinx+1，当x1，x2∈，且|x1|＞|x2|时，有f （x1）＞f（x2）”是真命题；
④“”是函数“y=cos2（ax）-sin2（ax）的最小正周期为4”的充要条件；
⑤已知等差数列{an}的前n项和为Sn，为不共线向量，又，若，则S2012=2013．
给出以下五个命题：其中正确命题的序号是    ．
①命题“对任意x∈Rx2+x+1＞0”的否定是“存在x∈Rx2+x+1≤0”
②函数在区间（0、1）上存在零点
③“a=1”是“函数y=cos2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件
④直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8交于A、B两点，则
⑤若直线2ax-bx+8=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+4x-8y+1=0周长则最小值为9．
给出以下五个命题，其中所有正确命题的序号为   
①函数的最小值为l+2；
②已知函数f （x）=|x2-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，则动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为1；
③命题“函数f（x）=xsinx+1，当x1，x2∈，且|x1|＞|x2|时，有f （x1）＞f（x2）”是真命题；
④“”是函数“y=cos2（ax）-sin2（ax）的最小正周期为4”的充要条件；
⑤已知等差数列{an}的前n项和为Sn，为不共线向量，又，若，则S2012=2013．

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