Question

（1）已知p：|x-3|≤2，q：（x-m+1）（x-m-1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
（2）已知命题p：“?x∈[1，2]，x²-a≥0”，命题q：“?x∈R，使x²+2ax+2-a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是

{a|a＞-2且a≠1}

．

Answer 1

分析：（1）根据绝对值不等式及一元二次方程的解法，分别化简对应条件，若非p是非q的充分不必要条件，则q 是p的充分不必要条件，从而求出m的范围；
（2）求出命题p与q成立时，a的范围，然后推出命题P且q是假命题的条件，推出结果．

解答：解：（1）∵由p：|x-3|≤2⇒1≤x≤5；
命题q：（x-m+1）（x-m-1）≤0，得（x-m）²≤1，得-1+m≤x≤1+m，
因为?p是?q的充分不必要条件
所以q是p的充分不必要条件，
所以

m-1≥1 1+m≤5

，得2≤m≤4．
∴m的范围为：[2，4]．
（2）命题p：“?x∈[1，2]，x²-a≥0”，a≤1；
命题q：“?x∈R”，使“x²+2ax+2-a=0”，所以△=4a²-4（2-a）≥0，所以a≥1或a≤-2；
命题P且q是假命题，两个至少一个是假命题，
当两个命题都是真命题时，

a≤1 a≥1或a≤-2

，解得{a|a≤-2或a=1}．
所以所求a的范围是{a|a＞-2且a≠1}．
故答案为：{a|a＞-2且a≠1}．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，复合命题的真假的判断，属于中档题．