题目内容
（2013•嘉兴二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：B′C∥平面A′PE．
（Ⅱ）若AP=2PB，求二面角A′-PC-E的平面角的正切值．
（Ⅰ）求证：B′C∥平面A′PE．
（Ⅱ）若AP=2PB，求二面角A′-PC-E的平面角的正切值．
分析：（Ⅰ）通过证明B′C所在的平面B′FC与平面A′PE平行，即可证明B′C∥平面A′PE．
（Ⅱ）利用AP=2PB，过E作EM⊥PC，垂足为M，连结A′M．说明∠A′ME即为所求二面角A′-PC-E的平面角，记为θ，然后求二面角A′-PC-E的平面角的正切值的大小．
（Ⅱ）利用AP=2PB，过E作EM⊥PC，垂足为M，连结A′M．说明∠A′ME即为所求二面角A′-PC-E的平面角，记为θ，然后求二面角A′-PC-E的平面角的正切值的大小．
解答：（本题满分15分）
（第20题）
解：（Ⅰ）因为EP∥FC，FC?平面A′PE，所以FC∥平面A′PE．
因为平面A′PE⊥平面PEC，且A′E⊥PE，所以A′E⊥平面ABC．…（2分）
同理，B′F⊥平面ABC，所以B′F∥A′E，从而B′F∥平面A′PE．…（4分）
所以平面B′FC∥平面A′PE，从而B′C∥平面A′PE．…（6分）
（Ⅱ）因为AC=BC=3a，AP=2PB，
所以CE=a，EA′=2a，PE=2a，PC=
a．…（8分）
过E作EM⊥PC，垂足为M，连结A′M．
由（Ⅰ）知A′E⊥平面ABC，可得A′E⊥PC，
所以PC⊥平面A′EM，所以A′M⊥PC．
所以∠A′ME即为所求二面角A′-PC-E的平面角，可记为θ．…（12分）
在Rt△PCE中，求得EM=
a，
所以tanθ=
=
=
．…（15分）
（第20题）
解：（Ⅰ）因为EP∥FC，FC?平面A′PE，所以FC∥平面A′PE．
因为平面A′PE⊥平面PEC，且A′E⊥PE，所以A′E⊥平面ABC．…（2分）
同理，B′F⊥平面ABC，所以B′F∥A′E，从而B′F∥平面A′PE．…（4分）
所以平面B′FC∥平面A′PE，从而B′C∥平面A′PE．…（6分）
（Ⅱ）因为AC=BC=3a，AP=2PB，
所以CE=a，EA′=2a，PE=2a，PC=
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过E作EM⊥PC，垂足为M，连结A′M．
由（Ⅰ）知A′E⊥平面ABC，可得A′E⊥PC，
所以PC⊥平面A′EM，所以A′M⊥PC．
所以∠A′ME即为所求二面角A′-PC-E的平面角，可记为θ．…（12分）
在Rt△PCE中，求得EM=
2
| ||
| 5 |
所以tanθ=
| A′E |
| EM |
| 2a | ||||
|
| 5 |
点评：本题考查直线与平面平行，二面角的大小的求法，考查空间想象能力与计算能力以及逻辑推理能力．
练习册系列答案
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