题目内容

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．
（1）求函数f（x）的单调区间；　
（2）若f（x）≤0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明： $数学公式$ （n＞1，n∈N^*）

（1）解：f（x）的定义域为（1，+∞）， $\text{[math]}$ ，
当k≤0时， $\text{[math]}$ ＞0，函数f（x）的递增区间为（1，+∞），
当k＞0时，由 $\text{[math]}$ ＞0，得： $\text{[math]}$ ，函数f（x）的递增区间为 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ＜0，得：x＞ $\text{[math]}$ ，函数f（x）的递减区间为 $\text{[math]}$ ；
（2）由f（x）≤0，即ln（x-1）-k（x-1）+1＜0得， $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
∴当x∈（1，2）时，y′＞0，函数 $\text{[math]}$ 递增；当x∈（2，+∞）时，y′＜0，函数 $\text{[math]}$ 递减．∴当x=2时函数取得最大值为1，∴k≥1；
（3）由（1）可知若k=1，当x∈（2，+∞）时有f（x）＜0，∴ln（x-1）-（x-1）+1＜0，
即ln（x-1）＜x-2，即有lnx＜x-1（x＞1），
令x=n，则lnn＜n-1，
∴ln2+ln3+…+lnn＜（2-1）+（3-1）+…+（n-1）=（2+3+…+n）-（n-1）
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （n＞1，n∈N^*）．
分析：（1）求出函数的导函数，然后分k≤0和k＞0讨论函数的单调区间；
（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≤0，变形后把变量k分离出来，得到 $\text{[math]}$ ，然后利用导函数求不等式右边的最大值，则实数k的取值范围可求；
（3）由（1）可知，若k=1，当x∈（2，+∞）时有f（x）＜0，由此得到lnx＜x-1（x＞1），依次取x的值为2，3，…，n，累加后利用分组求和可证不等式 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，训练了分离变量法，（3）中不等式的证明是该题的难点所在，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，此题是有一定难度题目．