题目内容
【题目】已知圆C：（x+1）2+y2=8，点A（1，0），P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON面积的最大值．
【答案】
（1）解：∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．
又|CP|=|CQ|+|QP|=2 
，∴|CQ|+|QA|=2 ＞|CA|=2．
∴曲线E是以坐标原点为中心，C（﹣1，0）和A（1，0）为焦点，长轴长为2 的椭圆．
设曲线E 的方程为 
=1，（a＞b＞0）．
∵c=1，a= ，∴b2=2﹣1=1．
∴曲线 E的方程为 
（2）解：设M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立 
消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．
此时有△=16k2﹣8m2+8＞0．
由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2= 
，x1x2= 
，．
∴|MN|= 
= 
∵原点O到直线l的距离d= 
﹣，
∴S△MON= 
= 
． 
，由△＞0，得2k2﹣m2+1＞0．
又m≠0，
∴据基本不等式，得S△MON= ． ≤ 
= 
，
当且仅当m2= 
时，不等式取等号．
∴△MON面积的最大值为
【解析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可．（2）联立直线和椭圆方程，利用消元法结合设而不求的思想进行求解即可．
【题目】某社区超市购进了A，B，C，D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为ai ， i=1，2，3，…，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：
顾 | a1 | a2 | a3 | a4 | a5 | a6 | a7 | a8 | a9 | a10 | a11 | a12 | a13 | a14 | a15 |
A | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||
B | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||
C | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||
D | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月销售量（单位：件）；
（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）
【题目】某学校高一、高二、高三三个年级共有300名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了20名教师一周的备课时间，数据如下表（单位：小时）：
高一年级 | 7 | 7.5 | 8 | 8.5 | 9 | |||
高二年级 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
高三年级 | 6 | 6.5 | 7 | 8.5 | 11 | 13.5 | 17 | 18.5 |
（1）试估计该校高三年级的教师人数；
（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，假设所有教师的备课时间相对独立，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率；
（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是8、9、10（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 
，表格中的数据平均数记为 
，试判断 与 的大小．（结论不要求证明）
