Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率e=

2

且点P(3，

7

)在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点Q （0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由双曲线的离心率e=

2

可知双曲线为等轴曲线，然后把给出的点的坐标代入双曲线方程可求a²的值，则双曲线方程可求；
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线方程的斜截式，和双曲线方程联立后化为关于x的一元二次方程，再设出两交点的坐标E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），利用根与系数关系求出 x1+x2=

4k

1-k2

，x1•x2=-

6

1-k2

，利用△OEF的面积为2

2

求解k的值，则直线l的方程可求．

解答：解：（1）由已知e=

2

可知双曲线为等轴双曲线，则a=b，
所以，双曲线方程为x²-y²=a²，
又点P(3，

7

)在双曲线C上，∴32-(

7

)2=a2，
解得a²=2，b²=2，
所以，双曲线C的方程为

x2

2

-

y2

2

=1；
（2）由题意直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+2
由

y=kx+2 x2 2 - y2 2 =1

得 （1-k²）x²-4kx-6=0，
设直线l与双曲线C交于E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），则x₁、x₂是上方程的两不等实根，
∴1-k²≠0，且△=16k²+24（1-k²）＞0，即k²＜3且k²≠1①，
这时 x1+x2=

4k

1-k2

，x1•x2=-

6

1-k2

又S△OEF=

1

2

|OQ|•|x1-x2|=

1

2

×2×|×1-x2|=|x1-x2|=2

2

即 (x1+x2)2-4x1x2=8，∴(

4k

1-k2

)2+

24

1-k2

=8．
整理得3-k²=（k²-1）²，即k⁴-k²-2=0，∴（k²+1）（k²-2）=0
又k²+1＞0，∴k²-2=0，∴k=±

2

，适合①式．
所以，直线l的方程为y=

2

x+2与y=-

2

x+2．

点评：本题考查了双曲线标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的关系，采用了设而不求的解题方法，该方法的核心是二次方程中根与系数的关系，解答此题的关键是把△OEF的面积用含有k的代数式表示，从而求出k的值．此题是中高档题．