题目内容
已知在直角坐标系xOy中,角的始边为x轴正半轴,已知α,β均为锐角,且角β和α+β的终边与单位圆交点横坐标分别为
和
.
(1)求tanβ的值;
(2)求角α终边与单位圆交点的纵坐标.
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5 |
5 |
13 |
(1)求tanβ的值;
(2)求角α终边与单位圆交点的纵坐标.
分析:(1)由题意求出cosβ与cos(α+β)的值,由β为锐角,利用同角三角函数间的基本关系求出sinβ的值,再利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanβ的值;
(2)角α终边与单位圆交点的纵坐标即为sinα的值,由α+β的范围及cos(α+β)的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sin(α+β)的值,sinα=sin[(α+β)-β],利用两角和与差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值.
(2)角α终边与单位圆交点的纵坐标即为sinα的值,由α+β的范围及cos(α+β)的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sin(α+β)的值,sinα=sin[(α+β)-β],利用两角和与差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值.
解答:解:(1)由题意可得cosβ=
,cos(α+β)=
,
∵β∈(0,
),
∴sinβ=
=
,
∴tanβ=
=
;
(2)∵0<α+β<π,
∴sin(α+β)=
=
,
则sinα=sin[(α+β)-β]
=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ
=
×
-
×
=
,
则角α终边与单位圆交点的纵坐标即为
.
4 |
5 |
5 |
13 |
∵β∈(0,
π |
2 |
∴sinβ=
1-cos2β |
3 |
5 |
∴tanβ=
sinβ |
cosβ |
3 |
4 |
(2)∵0<α+β<π,
∴sin(α+β)=
1-cos2(α+β) |
12 |
13 |
则sinα=sin[(α+β)-β]
=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ
=
12 |
13 |
4 |
5 |
5 |
13 |
3 |
5 |
33 |
65 |
则角α终边与单位圆交点的纵坐标即为
33 |
65 |
点评:此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及锐角三角函数定义,熟练掌握公式是解本题的关键.
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