Question

【题目】下列命题中正确命题的个数是（ ）

（1）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数的充要条件为对任意的，都成立；

（2）若函数的定义域关于原点对称，则“”是“为奇函数”的必要条件；

（3）函数对任意的实数都有，则在实数集上是增函数；

（4）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围是.

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据偶函数定义知（1）正确；若定义域不包含，可知必要性不成立，（2）错误；通过反例知（3）错误；将问题转化为与函数在上有两个交点，利用数形结合的方式可知（4）正确.

对于（1），根据偶函数的定义可得：若函数为偶函数，则对应定义域内的任意，都有；反之也成立；故（1）正确；

对于（2），函数的定义域不包含时，由“为奇函数”不能推出“”，故（2）错误；

对于（3），对于函数，对于任意的实数都有，但不满足在实数集上是增函数，故（3）错误；

对于（4），函数的定义域为，且，

令得：，即，构造函数，

则直线与函数在上有两个交点.

，令，得，列表如下：

		0
		极大值

函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，又时，，

可得图象如下图所示：

当时，直线与函数在上有两个交点，

实数的取值范围是，故（4）正确.

故选：.