题目内容
若

,

,其中

,函数

,且f(x)的图象关于直线

对称.
(1)求f(x)的解析式及f(x)的单调区间;
(2)将y=f(x)的图象向左平移

个单位,再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)后得到的y=g(x)的图象;若函数y=g(x),

的图象与y=a的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列,求a的值.
【答案】
分析:(1)根据函数

,把向量

,

,代入化简,利用f(x)的图象关于直线

对称求出ω,得到函数f(x)的表达式.
(2)按照将y=f(x)的图象向左平移

个单位,再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)后,求出函数
y=g(x)的图象;求出函数y=g(x),

的范围,图象与y=a的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列,列出方程,求a的值.
解答:解:(1)∵

,

∴


=

=

∵f(x)的图象关于直线

对称,
∴

,解得

∵

,∴

,∴-1<k<1(k∈Z),∴k=0,ω=1
∴

(2)将

的图象向左平移

个单位后,
得到

=

,
再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)后,得到y=g(x)=cosx
函数y=g(x)=cosx,

的图象与y=a的图象有三个交点坐标分别为(x
1,a),(x
2,a),(x
3,a)且

,
则由已知结合如图图象的对称性有

,解得

∴
点评:本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,平面向量数量积的运算,正弦函数的单调性,考查计算能力,考查数形结合思想.
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