题目内容

若 $数学公式$ ， $数学公式$ ，其中 $数学公式$ ，函数 $数学公式$ ，且f（x）的图象关于直线 $数学公式$ 对称．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的单调区间；
（2）将y=f（x）的图象向左平移 $数学公式$ 个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的y=g（x）的图象；若函数y=g（x）， $数学公式$ 的图象与y=a的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵f（x）的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴-1＜k＜1（k∈Z），∴k=0，ω=1
∴ $\text{[math]}$
（2）将 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位后，
得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后，得到y=g（x）=cosx
函数y=g（x）=cosx， $\text{[math]}$ 的图象与y=a的图象有三个交点坐标分别为（x₁，a），（x₂，a），（x₃，a）且 $\text{[math]}$ ，
则由已知结合如图图象的对称性有 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）根据函数 $\text{[math]}$ ，把向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，代入化简，利用f（x）的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称求出ω，得到函数f（x）的表达式．
（2）按照将y=f（x）的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后，求出函数
y=g（x）的图象；求出函数y=g（x）， $\text{[math]}$ 的范围，图象与y=a的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，列出方程，求a的值．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平面向量数量积的运算，正弦函数的单调性，考查计算能力，考查数形结合思想．