题目内容

已知m∈R，对p：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个根，不等式|m-5|≤|x₁-x₂|对任意实数a∈[1，2]恒成立；q：函数f（x）=3x²+2mx+m+ $数学公式$ 有两个不同的零点．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．

解：由题设x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
∴|x₁-x₂|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
当a∈[1，2]时， $\text{[math]}$ 的最小值为3．
要使|m-5|≤|x₁-x₂|对任意实数a∈[1，2]恒成立，只须|m-5|≤3，即2≤m≤8．
由已知，得f（x）=3x²+2mx+m+ $\text{[math]}$ =0的判别式
△=4m²-12（m+ $\text{[math]}$ ）=4m²-12m-16＞0，
得m＜-1或m＞4．
综上，要使“p且q”为真命题，只需P真Q真，即 $\text{[math]}$ ，
解得实数m的取值范围是（4，8]．
分析：利用二次方程的韦达定理求出|x₁-x₂|，将不等式恒成立转化为求函数的最值，求出命题p为真命题时m的范围；利用二次方程有两个不等根判别式大于0，求出命题Q为真命题时m的范围；p且q为真转化为两个命题全真，求出m的范围．
点评：本题考查二次方程的韦达定理、二次方程有根的判断、复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系能及恒成立问题，属于中档题．