Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在AB上，且AM=

1

3

，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A₁D₁的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xoy中，动点P的轨迹方程是

 

．

Answer 1

分析：以AB，AD，AA₁ 为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系，设P（x，y，0），由题意可得 M（

1

3

，0，0），由题意
可得（y²+1）-[(x-

1

3

)2+(y-0)2]=1，化简可得结果．

解答：解：作PN⊥AD，则PN⊥面A₁D₁DA，作 NH⊥A₁D₁ ，N，H为垂足则由三垂线定理可得 PH⊥A₁D₁．
以AB，AD，AA₁ 为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系，设P（x，y，0），由题意可得 M（

1

3

，0，0）．
再由PN²+NH²=PH²，PH²-PM²=1，可得 PN²+NH²-PM²=1，
即 x² +1-[(x-

1

3

)2+(y-0)2]=1，化简可得y²=

2

3

x-

1

9

，
故答案为y²=

2

3

x-

1

9

．

点评：本题考查点轨迹方程的求法，得到 x²+1-[(x-

1

3

)2+(y-0)2]=1，是解题的关键，属于中档题．