Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，点(1，-

3

2

)为椭圆上的一点，O为坐标原．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m为圆x2+y2=

4

5

的切线，直线l交椭圆于A、B两点，求证：∠AOB为直角．

Answer 1

（Ⅰ）依题可得：

e= c a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

⇒a=2，b=1，c=

3

所以椭圆的方程为：

x2

4

+y2=1（4分）
（Ⅱ）由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
x₁+x₂=

-8km

1+4k2

，x₁•x₂=

4m2-4

1+4k2

，
又

OA

•

OB

=x1•x2+y1y2
=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（k²+1）

4m2-4

1+4k2

+km

-8km

1+4k2

+m²
=

5m2-4k2-4

1+4k2

，
∵直线l与圆x2+y2=

4

5

相切，
∴原点O到直线l的距离为：

|m|

1+k2

=

2 5

5

∴5m²=4k²+4
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴∠AOB为直角．