Question

(本小题满分12分) 已知双曲线C：的右焦点为，过点

作直线交双曲线C的右支于两点，试确定的范围，使以为直径的圆过双曲线的中心.

Answer 1

解析:

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由已知易求B（1，0），

①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，

设M（1，y₀），N（1，-y₀）（y₀＞0），要使以为直径的圆过双曲线的中心，只需·=0，即y₀=1，此时M（1，1），N（1，-1）.

又M（1，1），N（1，-1）在双曲线上，只需-=1即²+-1=0 ，=，                 因为0＜＜1,所以=.         --------4分

       ②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k(x-1).

由,得［-(1-)k²］x²+2(1-)k²x-(1-)(k²+)=0,--------6分

由题意知：

于是,              --------8分

要使以为直径的圆过双曲线的中心，只需·=0，又M、N在双曲线右支上，

只需   即

?亦即 ＜＜.       --------10分

综上所述的取值范围是           -------12分