题目内容

已知函数f（x）=（x+k）lnx（k是常数）．
（1）若f（x）是增函数，试求k的取值范围；
（2）当k=0时，是否存在不相等的正数a，b满足 $数学公式$ 若存在，求出a，b；若不存在，说明理由．

解：（1）∵f'（x）= $\text{[math]}$ +lnx＞0对于x＞0恒成立，
即k≥-x-xlnx对x＞0恒成立，①，
记g（x）=-x-xlnx，所以g′（x）=-（2+lnx），
∴g（x）在x∈（0，e^-2）递增，在x∈（e-2，+∞）递减，
∴g（x）在（0，+∞）上的最大值为：g（e^-2）=e^-2，由①可知，k＞e^-2，即k∈[e^-2，+∞）．
（2）不妨设存在a＞b＞0符合题意，则 $\text{[math]}$ ，
整理得 $\text{[math]}$ ln $\text{[math]}$ -ln $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，②，
构造函数F（x）=xln $\text{[math]}$
=xln（2x）+（1-x）ln（x+1）-x+（1-ln2）（x＞0）．
∴F′（1）=0且F'（x）= $\text{[math]}$ ，对于x∈[1，+∞）成立．
∴F′（x）在x∈[1，+∞）上递减．
∵ $\text{[math]}$
∴F（ $\text{[math]}$ ）＜F（1）=0
整理得 $\text{[math]}$ ln $\text{[math]}$ -ln $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，与②矛盾．
∴符合题意的不相等的正数a、b不存在．
分析：（1）f（x）是增函数，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即可求出k的范围．
（2）不妨设存在a＞b＞0符合题意，则 $\text{[math]}$ ln $\text{[math]}$ -ln $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，构造函数F（x）=xln $\text{[math]}$ ，然后利用导数研究函数的单调性，从而得到整理得 $\text{[math]}$ ln $\text{[math]}$ -ln $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，矛盾，符合题意的不相等的正数a、b不存在．
点评：本题主要考查了利用导数函数的单调性，以及利用构造函数法证明不等式，属于中档题．