题目内容

直线x+3y-3=0交x、y轴于A、B两点,试在直线y=-x上求一点P1,使|P1A|+|P1B|最小;在y=x上找一点P2,使||P2A|-|P2B||最大,并求出两值及|P1P2|的值.

|P1A|+|P1B|的最小值是5,||P2A|-|P2B||的最小值是1,|P1P2|=0.?

解析:令x=0,得y=2;令y=0,得x=3.?

∴A(3,0),B(0,2),点B关于y=-x的对称点B′(-2,0),直线AB′即x轴,交y=-x于(0,0),即为P1点.?

∵|P1A|+|P1B|=|P1A|+|P1B′|≥|B′A|,?

∴当P1在直线AB′上,即AB′与y=-x相交时,|P1A|+|P1B|最小,最小值为|B′A|=3-(-2)=5.?

又B关于y=x有对称点B″(2,0),?

||P2A|-|P2B||=||P2A|-|P2B″||≤|AB″|=3-2=1,当且仅当P2、B″、A共线(又在y=x上),即P2为直线AB″(即x轴)与y=x的交点(0,0)时,||P2A|-|P2B||最大为1,故P1和P2重合,即|P1P2|=0.

练习册系列答案
相关题目
直线x+
3
y-3=0的倾斜角是
 
．
（2013•天津模拟）设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足
BF1
=
F1F2
，且AB⊥AF2．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线x-
3
y-3=0相切，求椭圆C的方程；                      
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求m的取值范围．
（2012•上饶一模）已知F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为
1
2
，点B在x轴上，AB⊥AF，A、B、F三点确定的圆C恰好与直线x+
3
y+3=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为椭圆的中心，是否存在过F点，斜率为k（k∈R，l≠0）且交椭圆于M、N两点的直线，当从O点引出射线经过MN的中点P，交椭圆于点Q时，有
OM
+
ON
=
OQ
成立．如果存在，则求k的值；如果不存在，请说明理由．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的右、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2
F1F2
+
F2Q
=0．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线x-
3
y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M、N两点，点P（4，0），求△PMN面积的最大值．
（2010•沅江市模拟）曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线与x轴及直线x+3y-3=0所围成的三角形面积为
5
3
5
3
．

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