Question

（2013•天津模拟）设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足

BF1

=

F1F2

，且AB⊥AF₂．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线x-

3

y-3=0相切，求椭圆C的方程；                      
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b），由

BF1

=

F1F2

知F₁为BF₂的中点，由AB⊥AF₂，知Rt△ABF₂中，BF₂²=AB²+AF₂²(4c)2=(

9c2+b2

)2+a2，由此能求出椭圆的离心率．
（Ⅱ）由

c

a

=

1

2

，知c=

1

2

a，F2(

1

2

a，0)，B(-

3

2

a，0)，Rt△ABF₂的外接圆圆心为（-

1

2

，0），半径r=a，所以

|- 1 2 a-3|

2

=a，由此能求出椭圆方程．
（Ⅲ）由F₂（1，0），l：y=k（x-1），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此能求出m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意知F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b）
∵

BF1

=

F1F2

知F₁为BF₂的中点，
AB⊥AF₂
∴Rt△ABF₂中，BF₂²=AB²+AF₂²(4c)2=(

9c2+b2

)2+a2，
又a²=b²+c²
∴a=2c
故椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

c

a

=

1

2

得c=

1

2

a，
于是F2(

1

2

a，0)，B(-

3

2

a，0)，
Rt△ABF₂的外接圆圆心为（-

1

2

a，0），半径r=a，
所以

|- 1 2 a-3|

2

=a，解得a=2，
∴c=1，b=

3

，
所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知F₂（1，0），l：y=k（x-1），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，代入得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
则x1+x2=

8k2

3+4k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）…（8分）

PM

+

PN

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=(x1+x2-2m，y1+y2)
由于菱形对角线垂直，
则(

PM

+

PN

)•

MN

=0
故x₁+x₂-2m+k（y₁+y₂）=0
即x₁+x₂-2m+k²（x₁+x₂-2）=0，

8k2

3+4k2

-2m+k2(

8k2

3+4k2

-2)=0…（10分）
由已知条件知k≠0，
∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

∴0＜m＜

1

4

故m的取值范围是0＜m＜

1

4

．…（12分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．