题目内容

已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是______.
双曲线x2-y2=1的左顶点为A(-1,0),根据双曲线的对称性,
可设B(x1,y1),C(x1,-y1).
由△ABC是等边三角形?AB=BC,得:
(x1+1)2+y12=(-y1-y12
又x12-y12=1,
∴x12-x1-2=0,∴x1=-1或x1=2
右支的特点是x≥0,
所以x1=2,从而y1=±
3

由此A(-1,0),B(2,
3
),C(2,-
3
),
可以算出面积:S=
3
4
AB 2
=
3
4
×
[32+(
3
2]=3
3

故答案为:3
3
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