题目内容

【题目】已知函数f(x)= +
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)设F(x)= [f2(x)﹣2]+f(x)(a为实数),求F(x)在a<0时的最大值g(a);
(3)对(2)中g(a),若﹣m2+2tm+ ≤g(a)对a<0所有的实数a及t∈[﹣1,1]恒成立,求实数m的取值范围.

【答案】
(1)解:由1+x≥0且1﹣x≥0,得﹣1≤x≤1,

所以函数的定义域为[﹣1,1],

又[f(x)]2=2+2 ∈[2,4],由f(x)≥0,得f(x)∈[ ,2],

所以函数值域为[ ,2]


(2)解:因为F(x)= =a + +

令t=f(x)= + ,则 = ﹣1,

∴F(x)=m(t)=a( ﹣1)+t= ,t∈[ ,2],

由题意知g(a)即为函数m(t)= ,t∈[ ,2]的最大值.

注意到直线t=﹣ 是抛物线m(t)= 的对称轴.

因为a<0时,函数y=m(t),t∈[ ,2]的图象是开口向下的抛物线的一段,

①若t=﹣ ∈(0, ],即a≤﹣ ,则g(a)=m( )=

②若t=﹣ ∈( ,2],即﹣ <a≤﹣ ,则g(a)=m(﹣ )=﹣a﹣

③若t=﹣ ∈(2,+∞),即﹣ <a<0,则g(a)=m(2)=a+2,

综上有g(a)=


(3)解:易得

由﹣ ≤g(a)对a<0恒成立,即要使﹣ ≤gmin(a)= 恒成立,

m2﹣2tm≥0,令h(t)=﹣2mt+m2,对所有的t∈[﹣1,1],h(t)≥0成立,

只需

解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0,或m≥2.


【解析】(1)根据函数成立的条件求出函数的定义域,结合函数的定义域和值域之间的关系进行求解即可,(2)根据题意写出F(x)的解析式,令t=f(x)换元,化为关于t的二次函数,结合二次函数求最值的方法得到F(x)的最大值,(3)根据(2)中求出g(x)的最小值,对于a<0恒成立,即要使恒成立,从而转化为关于t的一次不等式,再根据一次函数的单调性可得不等式组,解出即可.
【考点精析】掌握函数的定义域及其求法和函数的值域是解答本题的根本,需要知道求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①是整式时,定义域是全体实数;②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1,零(负)指数幂的底数不能为零;求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的.

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