题目内容
在平面直角坐标系
中，已知点
，
是动点，且
的三边所在直线的斜率满足
．
（1）求点
的轨迹
的方程；
（2）若
是轨迹上异于点
的一个点，且
，直线
与
交于点
，问：是否存在点，使得
和
的面积满足
？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】
（1）
（
且
）,（2）
【解析】
试题分析：（1）点
的轨迹的方程,就是找出点横坐标与纵坐标的关系式，而条件
中只有点为未知，可直接利用斜率公式
化简,得点的轨迹的方程为，求出轨迹的方程后需结合变形过程及观察图像进行去杂，本题中分母不为零是限制条件，（2）本题难点在于对条件的转化，首先条件
说明的是
，其次条件
揭示的是
，两者结合转化为条件
，到此原题就转化为：已知斜率为
的过点直线被抛物线截得弦长为
，求点的坐标.
试题解析：
（1）设点
为所求轨迹上的任意一点，则由
得，
，整理得轨迹
的方程为（且）． 3分
（2）:学设
由
可知直线，
则
，故
，即
， 5分
直线OP方程为：
①； 直线QA的斜率为：
，
∴直线QA方程为：
，即
②
联立①②，得
，∴点M的横坐标为定值
． 8分
由
，得到，因为，所以
，
由
，得
，∴
的坐标为．
∴存在点P满足
，的坐标为． 10分
考点：轨迹方程，直线与抛物线位置关系
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