Question

下列命题中，真命题的个数为（　　）
①x²+bx+c=0有一根大于1，另一根小于1的充要条件是1+b+c＜0
②当a≥2时，y=

a

+

1

a +1

的最小值为1
③x²-mx+1≥0对于x＞0恒成立，则m≤2
④x≥1的一个充分不必要条件是x=4．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①设f（x）=x²+bx+c=0，方程f（x）=0有一根大于1，一根小于1充要条件是f（1）＜0，由此得到①正确；
②y=

a

+

1

a +1

=

a

+1+

1

a +1

-1≥2

( a +1)• 1 a +1

-1=1，当且仅当

a

=0时，取最小值，由此得到②不正确；
③不等式x²-mx+1≥0对于任意的x∈R均成立，则m≤2；
④x≥1的一个必要不充分条件是x=4．

解答：解：①设f（x）=x²+bx+c=0，方程f（x）=0有一根大于1，一根小于1充要条件是
f（1）＜0，即b+c＜-1，
∴x²+bx+c=0有一根大于1，另一根小于1的充要条件是1+b+c＜0，故①正确；
②y=

a

+

1

a +1

=

a

+1+

1

a +1

-1≥2

( a +1)• 1 a +1

-1=1，
当且仅当

a

=0时，取最小值，
∴当a≥2时，y=

a

+

1

a +1

的最小值为1不正确，故②不正确；
③不等式x²-mx+1≥0对于任意的x∈R均成立，
∴由△=m²-4≤0得：-2≤m≤2．
当m＜-2时，x²-mx+1≥0对于x＞0恒成立，
∴x²-mx+1≥0对于x＞0恒成立，则m≤2．故③正确；
④∵由x≥1，不能得到x=4，x=4⇒x＞1，
∴x≥1的一个必要不充分条件是x=4，故④不正确．
故选B．

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．